正交向量组

若n维向量组是一个非零向量组，且中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组。^[1]其中，两向量正交为：设与是两n维向量，若，则称与是正交的。^[2]

如果n维正交向量组中的每个向量都是单位向量，则称是正交单位向量组。零向量与任何向量都正交，任何一个非零向量都不与自己正交，即只有零向量才与自己正交。^[2]

任意两个向量都是正交的，意思是说任意两个向量之间作内积(数量积)为0.比如A=(1,1,2),B=(-1,-1,1),C=(1,-1) 可以验证{A,B,C}是正交向量组 即A·B=B·C=C·A =0这里的相乘是做内积，与向量夹角和模都有关a·b = |a|·|b|·Cos,结果为0,可能是模为0,也可能是夹角为Pi/2 标准正交向量组，就是正交向量组中向量都是单位向量 上例中令A'=A/根号6,B'=B/根号3,C'=C/根号2,{A',B',C'}就是标准正交向量组。

设有R^3中的标准单位向量е ₁=（1，0，0），е₂=（0，1，0），е₃=（0，0，1）。则

（е ₁，е₂）=0， （е ₁，е₃）=0，（е₂，е₃）=0.

所以｛е ₁，е₂，е₃｝是一个正交向量组。^[3]

在三维向量空间中， 两个向量的内积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的向量分析。 换句话说， 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。

对于一般的希尔伯特空间， 也有内积的概念， 所以人们也可以按照上面的方式定义正交的概念。 特别的， 我们有n维欧氏空间中的正交概念， 这是最直接的推广。

和正交有关的数学概念非常多， 比如正交矩阵， 正交补空间，施密特正交化法，最小二乘法等等。

另外在此补充正交函数系的定义：在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0，则称这样的三角函数组成的体系叫正交函数系。

正交向量组是一组非零的两两正交(即内积为0)的向量构成的向量组。

高等代数中，欧式空间的一组线性无关的向量张成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。施密特正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。从几何上说，正交基就像一个欧式空间的直角坐标系，比如三维空间的x轴，)轴，:轴，没有正交化的就是非欧几何，如用(1,0,0)，X1,1,0)，(1,1,1)也可以作为一组基，但别的向量用这组基表示不方便。其实用正交基的好处在于数值计算上，不用正交基的话计算不稳定，会随着计算过程逐步积累误差，可能会使得误差过大而使计算结果根本不可用，而正交基则不会发生这种问题。