氢原子百科 
定义
在经典力学与几何学里，所有环绕着三维欧几里得空间的原点的旋转，组成的群，定义为旋转群。根据定义，环绕着原点的旋转是一个保持矢量长度，保持空间取向（遵守右手定则或左手定则）的线性变换。假若，一个线形变换保持矢量长度，逆反空间取向，则称此变换为假旋转。
两个旋转的复合等于一个旋转。每一个旋转都有一个独特的逆旋转；零角度的旋转是单位元。旋转运算满足结合律．由于符合上述四个要求，所有旋转的集合是一个群。更加地，旋转群拥有一个天然的流形结构。对于这流形结构，旋转群的运算是光滑的；所以，它是一个李群。旋转群时常会用SO(3) 来表示。
长度与角度
除了保持长度（保长），旋转也保持矢量间的角度（保角）。原因是两矢量u和v的内积可写作：
R中的保长转换保持了标量内积值不变，也因此保持了矢量间的角度。包括SO(3)在内的一般性情形，参见典型群。
旋转轴
三维空间中非平凡的旋转，皆绕着一个固定的“旋转轴”，此旋转轴是R的特定一维线性子空间（参见：欧拉旋转定理）。旋转作用在与旋转轴正交的二维平面，如同寻常的二维旋转。既然二维旋转皆可以旋转角φ表示，则任意三维旋转则可用旋转轴搭配旋转角来表示。
举例来说，绕着正z轴旋转φ角的逆时针旋转为
给定R中一单位矢量n以及角度φ，设R(φ,n)代表绕n轴作角度φ的逆时针旋转，则：
• R(0,n)为相等转换（identity transformation），n任意单位矢量；
• R(φ,n) =R(−φ, −n)；
• R(π + φ,n) =R(π − φ, −n)。
利用这些特性，参数为旋转角φ（范围： 0 ≤ φ ≤ π）与单位矢量n的任意旋转有如下性质：
• 若φ = 0，n可为任意单位矢量；
• 若0 < φ < π，n为特定单位矢量；
• 若φ = π，n为彼此反向的两特定单位矢量；亦即，旋转R(π, ±n)是等价的。
有限子群
应用
常见的三维旋转群有如下几种：
正六面体：阶24, 顶点8个，面6个，棱12条，均为正方形
转动群顶点面棱个数不动(1)^8(1)^6(1)^121面心-面心, ±90度(4)^2(1)^2 (4)(4)^36面心-面心180度(2)^4(1)^2 (2)^2(2)^63棱心-棱心180度(2)^4(2)^3(1)^2 (2)^56空间对角线±120度(3)^2 (1)^2(3)^2(3)^48
正八面体：阶24, 顶点6个，面8个，棱12条，均为等边三角形
转动群顶点面棱个数不动(1)^6(1)^8(1)^121顶点-顶点 ±90度(1)^2 (4)(4)^2(4)^36顶点-顶点 180度(1)^2 (2)^2(2)^4(2)^63棱心-棱心 180度(2)^3(2)^4(1)^2 (2)^56面心-面心 ±120度(3)^2(3)^2 (1)(3)^48
正十二面体：阶60, 顶点20个，面12个，棱30条，均为正五边形
转动群顶点面棱个数不动(1)^20(1)^12(1)^301面心-面心±72,±144度(5)^4(1)^2 (5)^2(5)^624棱心-棱心180度(2)^10(2)^6(1)^2 (2)^1415顶点-顶点±120度(1)^2 (3)^6(3)^4(3)^1020
正二十面体：阶60, 顶点12个，面20个，棱30条，均为等边三角形
转动群顶点面棱个数不动(1)^12(1)^20(1)^301顶点-顶点±72,±144度(1)^2 (5)^2(5)^4(5)^624棱心-棱心180度(2)^6(2)^10(1)^2 (2)^1415面心-面心±120度(3)^4(1)^2 (3)^6(3)^1020
足球：阶60, 顶点60个，面32个，棱数90条，20个正六边形，12个正五边形
转动群顶点面棱个数不动(1)^60(1)^32(1)^901五边形面心-五边形面心±72,±144度(5)^12(1)^2 (5)^6(5)^1824六边形面心-六边形面心±120度(3)^20(1)^2 (3)^10(3)^3020正六边形棱中-棱180度（这种棱有30条）(2)^30(2)^16(1)^2 (2)^4415
类足球(正八面体切掉角)：阶24，顶点24个，面14个，棱数36条，8个正六边形，6个正方形
转动群顶点面棱个数不动(1)^24(1)^14(1)^361正方形面心-正方形面心±90度(4)^6(1)^2 (4)^3(4)^96正方形面心-正方形面心180度(2)^12(1)^2 (2)^6(2)^183六边形面心-六边形面心±120度(3)^8(1)^2 (3)^4(3)^128六边形棱中-六边形棱中180度(2)^12(2)^7(1)^2 (2)^176