拉东测度

拉东测度是一种正则测度。抽象测度的简称，即非负可列可加的集函数，测度论研究的对象。

拉东在变分法、实变函数、泛函分析、微分几何、相对论的数学理论等方面都有所贡献，他利用变分法研究微分几何以及对数位势的狄利克雷问题，发现了在数论中有重要应用的拉东曲线；还得到很有价值的拉东变换；在实变函数论中，引入了可包含勒贝格积分和斯蒂尔切斯积分的拉东积分，使积分概念得到进一步推广。

拉东（Radon）测度，是在豪斯多夫空间上的博雷尔测度，且具有局部有限及内部正则性质。

设m是豪斯多夫空间X的博雷尔集的σ-代数上的测度。m称为

内部正则，若对任何博雷尔集B，其测度m(B)等于B的所有紧致子集K的测度m(K)的最小上界；外部正则，若对任何博雷尔集B，其测度m(B)等于所有包含B的开集U的测度m(U)的最大下界；局部有限，若X中任一点都有邻域U，使得m(U)为有限。拉东测度，若m是内部正则及局部有限。

欧氏空间R上的勒贝格测度（限制到博雷尔集的σ-代数上）；局部紧拓扑群上的哈尔测度；任何波兰空间的博雷尔集的σ-代数上的概率测度。这例子包括了很多在非局部紧空间上的测度，比如在区间[0,1]上的实值连续函数空间上的维纳测度。

以下不是拉东测度：

欧氏空间上的计数测度，因为这测度不是局部有限。

在X上的所有（正）拉东测度组成的带点锥，可以用下述度量使成为完备度量空间。定义两个测度间的距离为

其中最小上界是对所有连续函数取的。

这个度量有一些限制。例如X上的概率测度

关于拉东度量不是序列紧致，即概率测度序列未必有收敛子序列。这个性质在一些应用中会造成困难。另一方面，若X是紧致度量空间，那么Wasserstein度量使成为紧致度量空间。

在拉东度量收敛意味着测度的弱收敛：

但反之则不必然。在拉东度量收敛有时称为强收敛，以便和弱收敛对比。