氢原子百科 实变函数（英语：function of real variable）[1]，是自变量（也包括多变量）取实数值的函数。[3]其核心内容是勒贝格测度与勒贝格积分，它是经典的黎曼积分理论的延续与发展，它的诸多思想方法源于数学分析，又高于数学分析。[5]
实变函数论是研究一般实变函数的理论，内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。[3]实变函数论是19世纪末20世纪初，主要由法国数学家勒贝格（Lebesgue）创立的。它是普通微积分学的继续，其目的是克服牛顿和莱布尼茨所建立的微积分学存在的缺点，使得微分和积分的运算更加对称。[6]
名词定义
实变函数（英语：function of real variable）主要指自变量（也包括多变量）取实数值的函数，[4]其核心内容是勒贝格测度与勒贝格积分，它是经典的黎曼积分理论的延续与发展，它的诸多思想方法源于数学分析，又高于数学分析。[5]
历史沿革
以实数作为自变量的函数叫作实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论，它是微积分学的进一步发展。微积分产生于17世纪，到了18世纪末19世纪初，微积分学已经基本上成熟了。数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，使它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着很多问题。比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解，以至长期争论着问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。[4]
19世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都不可导。这个发现使许多数学家大为吃惊。由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积:还发现了连续但是不分段单调的函数等等。这些都促使数学家考虑，人们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢?如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的?连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件又是什么样的?上面这些函准数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。[4]
实变函数论是19世纪末、20世纪初，主要由法国数学家勒贝格 （Lebesgue，1875—1941年）创立的。它是普通微积分学的继续，其目的是想克服牛顿和莱布尼茨所建立的微积分学存在的缺点，使得微分和积分的运算更加对称。[6]
与数学关系分析
在数学分析中主要学到两种积分：黎曼积分、广义黎曼积分。首先回忆一下黎曼积分的定义。设是定义在\（[a，b]\）上的有界函数，对定义域作分划在每个小区间上取介点， 它对应的函数值为另外， 然后求和取极限，[7]。[7]
广义黎曼积分共有两种情况：无限区间上有界函数的积分以及有限区间上无界函数的积分。首先介绍一下无限区间上有界函数的积分。设上有定义，且对任何实数都在上黎曼可积，若函数极限：[7]
（1）[7]
存在 （或有限）， 则称在上的广义积分存在 （有限） 或收敛。而I就为此广义积分的值。记为（2）反之，若极限不存在或为， 则称广义积分发散。有限区间上无界函数的广义黎曼积分定义方式类似，大家可以参考一些常见的数学分析教材。[7]
无论哪一种情况下的广义黎曼积分，它都是函数极限，而极限中的函数是黎曼定积分，所以它实质上是黎曼积分的推广。[7]
勒贝格积分
在实变函数中学到的积分称为勒贝格积分，它的定义如下：设在集合E上的上界为M， 下界为m， 对函数的值域进行划分:对每个小区间， 对应的定义域的集合记为让， 取和求极限，那么主要从积分区域、被积函数以及积分理论来说明这三种积分的区别和联系：[7]
首先黎曼积分是对定义域进行划分，这些分划的大小可以用 Jordan 测度来测量。广义黎曼积分是对黎曼定积分函数取极限得到的，所以它的积分区域也只能用 Jordan 测度来测量。[7]而勒贝格积分是对值域进行分划，这些分划对应的定义域可能是特殊的集合，如有理数集合、无理数集合等 （可以参考第三章例 U）， 它们的大小无法用 Jordan 测度来测量，这样就引入了 Lebesgue 测度，进而出现了可测集。[7]
综上所述，黎曼积分和广义黎曼积分只能在那些可被 Jordan 测度测量的集合上进行积分，只不过黎曼积分考虑的是有界区域，而广义黎曼积分考虑的是无界区域。[7]但是勒贝格积分是在可测集合 （可以被 Lebesgue 测度来测量的集合） 上进行的，可测集合的大小可以是有界，也可以是无界的。[7]
黎曼可积函数
黎曼可积函数要求是有界的，而广义黎曼可积函数可以在有限几个点处是无界的。虽然勒贝格可积函数是几乎处处有限的，即取值为的点集是零测集，但是很多零测集如有理数集、Cantor 集等都包含无穷多个点，[7]这说明勒贝格可积函数可以在无穷多个点处取值是无界的。综上可知勒贝格可积函数的范围要比黎曼可积函数或广义黎曼可积函数广得多。[7]
下面我们抛开广义黎曼积分，单独讨论一下黎曼积分理论与勒贝格积分理论的区别与联系。尽管勒贝格积分中的积分区域与被积函数要比黎曼积分对应的部分范围大得多，[7]但是黎曼积分的很多理论在勒贝格积分中同样成立，并且成立的条件要比黎曼积分弱得多，从而可以克服黎曼积分中许多不完善的地方，大大扩大积分理论的适用范围。从以下几个方面进行说明：[7]
（1）积分与极限换序
黎曼积分在积分和极限换序的时候，由于黎曼可积函数列的极限函数即使有界也不一定黎曼可积，因此在黎曼积分中我们要求函数列满足一致收敛的条件。[7]虽然这样能够同时使得函数列的极限函数黎曼可积并且保证积分和极限能够换序。但是在现实当中，很多函数不满足一致收敛的条件，另一方面，一致收敛的条件也很难验证，这大大限制了黎曼积分在实际问题中的应用。而在的 Lebesgue 控制收敛定理中，只要是可测函数、几乎处处收敛且存在一个控制函数使得就能保证勒贝格积分和极限换序，因此条件要弱得多。[7]
（2）微积分基本定理
若是定义在\（[a， b]\）上的可微函数，其导数是定义在\（[a， b]\）上的黎曼可积函数，则为使得这一微积分基本定理成立，[7]必须要求\（f'（x）\）是黎曼可积的。但是有例子表明，即使处处可微，且有界，也不能保证黎曼可积。若上处处可微，且存在常数M使得， 则不仅在上是勒贝格可积的，而且还使得 （3） 式成立。这也说明了勒贝格积分的优越性。[7]
实变函数论
实变函数论是研究一般实变函数的理论。在微积分学中，主要是从连续性、可微性、黎曼可积性三个方面来讨论函数（包括函数序列的极限函数）。如果说微积分学所讨论的函数都是性质“良好”的函数（例如往往假设函数连续或只有有限个间断点），那么，实变函数论是从连续性、可微性、可积性三个方面讨论最一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数。它所得到的有关的结论自然也适用于性质“良好”的函数。实变函数论是微积分学的发展和深入。[4]
函数可积性的讨论是实变函数论中最主要的内容。它包括H. L.勒贝格的测度、可测集、可测函数和积分以及更一般的勒贝格一斯蒂尔杰斯测度和积分的理论（见勒贝格积分）。这种积分比黎曼积分是更为普遍适用和更为有效的工具，例如微积分基本定理以及积分与极限变换次序。精美的调和分析理论（见傅里叶分析）就是建立在勒贝格积分的基础上的。此外，还适应特殊的需要而讨论一些特殊的积分。例如为讨论牛顿一莱布尼茨公式而有佩隆积分由于有了具有可列可加性的测度和建立在这种测度基础上的积分，导致了与微积分中函数序列的点点收敛和一致收敛不同的一些新的重要收敛概念的产生，它们是几乎处处收敛、度量收敛（亦称依测度收敛）积分平均收敛等。度量收敛在概率论中就是依概率收敛，且具有特别重要的地位。积分平均收敛在一般分析学科中也是常用的重要收敛。傅里叶级数理论以及一般的正交级数理论就是以积分的平方平均收敛为基本的收敛概念。一般正交级数的无条件收敛问题在实变函数论中也有所讨论。[4]
相关应用
实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓朴学和泛函分析两个重要分支有着极为重要的影响。[8]
参考资料 8
- 实变函数 — 术语在线
- 实变函数论 — 豆瓣读书
- 参考 3
- 参考 4
- https://d.wanfangdata.com.cn/Periodical/ChlQZXJpb2RpY2FsQ0hJTmV3UzIwMjMwODMxEhF5eXNmeHl4YjIwMjMwMjAxNhoIbjJsaWJqbHo%3D
- 参考 6
- 参考 7
- 参考 8