多重指标

多重指标是数学中一种方便的表示法，它将指标中的单个整数推广为多个整数，它可以简化多元微积分、偏微分方程与分布理论中的计算，也便于操作幂级数。

一个n -维 多重指标是一个由整数构成的向量

设 为多重指标，定义：

应用最广的是非负的多重指标，此时可以定义：

（假设）

设 定义

其中

命题：若i,k是非负的n维多重指标，且 则

按定义直接操作即可证明。

多重指标可以将单变元微积分的许多结果直接推广到多变元。以下是几个例子：

多元幂级数：有两个以上变元的幂级数通常写成

其中 是n-维多元指标而，以简化冗长的表法

多项展开

莱布尼茨公式：设 存在够高阶的导数，则

泰勒展开式：对一多元解析函数 f，当

充分小时有下述展开

其实这不外是定义，多元指标在此提供了简练的表示法。

对于存在够高阶导数的函数，我们也有带余项的泰勒展开式：

一个形式上的 n 变元 -阶 偏微分算子能以多重指标写成

分部积分：对有界定义域 上的紧支集光滑函数，我们有

此公式用以定义分布与弱导数。