垂线公理

垂线公理包括两条子公理。

1.垂直公理：在同一平面内，过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直。

2.垂线段公理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（简称“垂线段最短”）。

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（简称“垂线段最短”）。

如垂线段图，已知于点C，则。

在同一平面内，过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直。

如垂直图，过直线AB上一点C作，且CP是唯一的；同理，过直线AB外一点P作，且PC是唯一的。

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。

垂线段是一个图形，点到直线的距离是一个数量。

已知直线AB和平面内一点C，过C作AB的垂线，求证这样的直线有且只有一条。

证明：当C在直线上时，作，，不妨设CD在CD'的左边，则∠D'CB在∠DCB的内部。

而

，小的等于大的，这是不可能的事情。

∴假设不成立，即当C在AB上时，有且只有一条直线CD与AB垂直。

当C在直线外时，作，垂足分别为D、D'。

则

根据同旁内角互补，两直线平行可知，，这和CD与CD'交于C矛盾。

∴假设不成立，即当C在直线外时，有且只有一条直线CD与AB垂直。

这样就证明了，无论C是否AB上，命题都成立。

已知直线AB和直线外一点C。作，垂足为D。连接C与AB上异于D的任意一点E，求证。

证明：由定理的第一部分可知CD是唯一的垂线段，那么C、D、E就构成了以∠CDE为直角的Rt△CDE。

由三角形内角和定理可知，△CDE内∠CDE=90°，则另外两个内角之和为90°，故∠CDE>∠CED。

根据“大角对大边”定理，可得，即。

由E的任意性可知对于任一异于D的E，都有，即垂线段最短。