厄米算符

厄米算符，即自伴随算符^[1]，也称厄米特算符，由数学家厄米特提出，是一种表示力学量的算符。^[2][3]其对应的矩阵表示为厄米矩阵，即转置复共轭等于自身的矩阵。^[3]厄米矩阵的本征值为实数，对应的本征矢量作为一组完备正交基构成一个矢量空间。^[3]

厄米算符的特性有：实数性，厄米算符的本征值和平均值为实数；正交性，属于不同本征值的本征态，彼此正交；完备性，本征态的全体构成一个完备集。描写力学量的厄米算符的本征函数系是完全系。^[4][5]量子力学中表示力学量的算符，必须是厄米算符或厄米算符的函数。^[5][4]

两个厄米算符之和仍为厄米算符，但两个厄米算符之积一般不是厄米算符，除非这两个厄米算符可对易。^[6]

其中ϕ ψ 、是任意波函数，则称算符F∧为厄米算符。

厄米算符具有一些重要的性质：

（1）在任何状态下，厄米算符的本征值必为实数；

（2）在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符；

（3）厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交；

(4) 厄米算符的本征函数具有完备性。

量子体系中的可观测量（力学量）用线性厄米算符来描述是量子力学的一个基本假设，其正确性应该由实验来判定。

量子体系中的力学量用相应的线性厄米算符来描述”具有多方面的含义：

一，算符的线性是状态叠加原理所要求的；

二，实验上的可观测的力学量总是实数，力学量相应的算符必须是厄米算符；实际上，这种要求是有些过分了，即使某个力学量的算符不是厄米算符，只要它的本征值是实数即可，但是这样做的结果会使本征矢变成超完备的，以致不便于使用。

三，量子力学里测量值通常不是唯一确定的值，而是具有一定概率分布的一系列的值，这些测量值的平均值可用

（ψ 已经归一化）来表示；

四，力学量之间的关系也可通过相应算符之间的关系（如对易关系）来反映出来。

基于以上三点，量子力学中的力学量用厄米算符来描述。

我们知道算符的性质可用矩阵来表示，那么厄米算符对应怎样的矩阵呢？

从厄米算符是定义出发：

但是需要指出的是，以线性厄米算符表示力学量扩充了量子力学中力学量的范围，除了有经典的对应的力学量外，即使经典物理中没有相应的力学量，但只要是线性厄米算符，在微观世界中有意义，诸如宇称、自旋、同位旋等，也都是力学量。

实验上的可观测的物理量都是厄米算符，为了保证算符的厄米性，常常要求波函数满足一定的条件。接下

来，下文将在一些文献的基础上，以常见的几种一维算符为例，对此做一些探讨。

量子力学中的常见算符

量子力学中的常见算符有坐标算符、动量算符、能量算符、角动量算符等等，对于宇称算符、自旋算符以及同位旋算符，这里我们不讨论。从这些常见的算符出发，分析它们对波函数的限制，再利用厄米算符的一些性质（如两厄米算符之和仍为厄米算符，可対duì易的两厄米算符之积仍为厄米算符）来研究更广泛的算符，以期得到普遍的结论。

坐标算符

满足厄米算符定义式（1），即对坐标算符来说，算符的厄米性对波函数无附加限制。