分式环

在抽象代数中，分式环或分式域是包含一个整环的最小域，典型的例子是有理数域之于整数环。此外分式环也可以推广到一般的交换环，此时通常称作全分式环。分式环有时也被称为商域，但此用语易与商环混淆。

分式环是局部化的一个简单特例。设 \( R \) 为一个整环，而 \( S:=R-\{0\} \)。在集合 \( R\times S \) 上定义等价关系 \( \sim \)：

\( (r,s)\sim (r',s')\iff rs'-r's=0 \)

等价类 \( [r,s] \) 可以想成“分式” \( r/s \)，上述等价关系无非是推广有理数的通分；借此类比，在商集 \( (R\times S)/\sim \) 上定义加法与乘法为：

\( [r,s]+[r',s']=[rs'+r's,ss'] \)

\( [r,s][r',s']=[rr',ss'] \)

可验证上述运算是明确定义的。此外还有环同态 \( R\rightarrow (R\times S)/\sim \)，定义为 \( r\mapsto [r,1] \)；这是一个单射。于是可定义分式环 \( T(R):=(R\times S)/\sim \)，再配上上述的加法与乘法运算。在实践上，我们常迳jìng将 \( T(R) \) 里的元素写作分式 \( r/s \)。

整环 \( R \) 的分式环 \( K(R) \) 及其自然环同态 \( R\rightarrow K(R) \) 满足以下的泛性质：

对任何环 \( T \) 及环同态 \( \phi :R\rightarrow T \)，若 \( R-\{0\} \) 中的元素在 \( \phi \) 下的像皆可逆，则存在唯一的环同态 \( \psi :K(R)\rightarrow T \)，使得 \( \phi \) 是 \( R\rightarrow K(R) \) 与 \( \psi \) 的合成。此性质不外是形式地表达了“\( K(R) \) 是包含 \( R \) 的最小的域”这个陈述。据此泛性质可形式地证明：任何一组资料 \( (K,\phi :R\rightarrow T) \) 若使得 \( K-\{0\} \) 中的元素在 \( \phi \) 下的像皆可逆，且满足上述泛性质，则 \( K \) 必与 \( T(R) \) 同构。

对于一般的交换环 \( R \)（容许有零因子），分式环是一种退而求其次的建构：我们想找使 \( R\rightarrow S^{-1}R \) 为单射的“最大”局部化。设 \( S \) 为 \( R \) 中的非零因子所成子集，它是个积性子集，因此可对之作局部化。令 \( T(R):=S^{-1}R \)，此时 \( T(R) \) 常被称作 \( R \) 的全分式环。