内切球

球心到某几何体各面的距离相等且等于半径的球是几何体的内切球。如果一个球与简单多面体的各面或其延展部分都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球。内切球是多面体中所能容纳的最大球，且内切球的球心被称为多面体的内心。并非所有的多面体都有内切球，但正多面体和四面体都有内切球。与圆柱两底面以及每条母线都相切的球称为这个圆柱的内切球，此圆柱称为球的外切圆柱。与圆台的上、下底面以及每条母线都相切的球，称为圆台的内切球，此圆台称为球的外切圆台。

内切球球心在几何体各面上的射影与各面的重心重合，即球心被称为多面体的内心。半径的求法一般在三棱锥中常用等体积法求半径，即大三棱锥体积等于以球心为顶点，分割成三棱锥相加，即可求出半径(高)。

求三棱锥内切球半径：

如图，点M是底边中线BE、CD的交点，

则圆心O在底面重心M和顶点P的连线上，作于H，则，

为计算表达相对简便，，

则，

由得，即，解得R即可。

任意四面体都有唯一的内切球。四面体内切球的球心经过任何两个面所成的二面角的平分面。如果已知四面体ABCD每个面的面积：{\displaystyle S_{A}}、{\displaystyle S_{B}}、{\displaystyle S_{C}}、{\displaystyle S_{D}}，以及四面体的体积{\displaystyle V}，则内切球的半径{\displaystyle r_{i}}可以表示为：

{\displaystyle r_{i}={\frac {3V}{S_{A}+S_{B}+S_{C}+S_{D}}}}。

与圆柱两底面以及每条母线都相切的球称为这个圆柱的内切球(inscribed sphere in a circular cylinder)，此圆柱称为球的外切圆柱，等边圆柱才有内切球，球心在圆柱轴线中点处，内切球半径与圆柱底面圆半径相等。

与圆锥的底面和各母线均相切的球，称为圆锥的内切球(inscribed sphere in a circular cone)，此圆锥称为球的外切圆锥。圆锥的内切球有且仅有一个，球心在圆锥的轴线上。

与圆台的上、下底面以及每条母线都相切的球，称为圆台的内切球(inscribed sphere in a frustum of a circular cone)，此圆台称为球的外切圆台，当且仅当母线长与上、下两底面圆半径之和相等时，圆台才有内切球。