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克莱因瓶（英语：Klein Bottle[1]）是一种无定向性曲面的数学模型，[6]在拓扑学中，它是一个不可定向的拓扑空间。[2]
1882年，德国数学家菲利克斯·克莱因提出了克莱因瓶的数学概念。[3]克莱因瓶是一个在四维空间中才能真正表现出来的曲面。[7]在三维空间中，克莱因瓶的结构可以描述为瓶子底部有一个洞，瓶子的颈部被延长后使“瓶颈”穿过瓶子表面，扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。这个物体没有“边”，它的表面不会终结。一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面。[5]克莱因瓶具有不可定向性，[8]没有“内部”和“外部”之分，单侧曲面等特性。[3][4]它展示了一种特殊的拓扑性质：表面的连续性。[2]
克莱因瓶在数学、物理学，建筑学和哲学等领域都有重要的应用。[3][9]
命名
克莱因瓶最早是数学家菲立克斯·克莱因提出来的，但是克莱因的本意是“KleinscheFlche”，也就是克莱因平面，没有内部外部之分。[2]“克莱因瓶”这个名字的翻译其实是有些错误的，因为最初用德语命名时候名字中“Fläche”是表面的意思。大概是误写为了“Flasche”，这个词才是瓶子的意思。 [10]
简史
1858年，莫比乌斯（Mobius）和另一位数学家各自独立发现了单侧的曲面——莫比乌斯带。但是，莫比乌斯带具有一条非常明显的边界。[11]
1882年，德国数学家菲利克斯·克莱因在基于莫比乌斯环在三维下的延伸做出一种假设：一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。这个物体没有“边”，它的表面不会终结。和球面不同，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面。这个瓶子就叫做“克莱因瓶”。[12]
定义
克莱因瓶，学名为“不可定向单侧闭曲面”。[5]在数学领域中，克莱因瓶是一种无定向性的曲面，在拓扑学中，克莱因瓶是一个不可定向的拓扑空间。[2]它展示了一种特殊的性质：表面的连续性。在拓扑学中，将克莱因瓶称为一个“紧致的非定向曲面”。这意味着它可以被视为一个封闭的曲面，而且没有方向的概念。[2]
从拓扑学角度上看，克莱因瓶可以定义为矩阵[0,1] × [0,1]，边定义为 (0,y) ~ (1,y) 条件 0 ≤ y ≤ 1 和 (x,0) ~ (1-x,1) 条件 0 ≤ x ≤ 1。就像莫比乌斯带一样，克莱因瓶没有定向性。但是与之不同的是，克莱因瓶是一个闭合的曲面，也就是说它没有边界。莫比乌斯带可以在3维的欧几里德空间中嵌入，而克莱因瓶只能嵌入四维（或更高维）空间。[10]
与克莱因瓶同胚的图形可以描述为：[注1]
设,，在中规定等价关系
则是将的两条水平边同向粘合，再将两条竖直边反向粘合而得到的图形（图1），是与克莱因瓶同胚的图形。
三维
克莱因瓶的结构看起来像一个瓶子。[3]在三维空间中，克莱因瓶的结构可表述为：一个瓶子底部有一个洞，延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。[2]如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到两个莫比乌斯环（图2）。[2]
四维
克莱因瓶是一种通过将圆柱的两端扭转后进行黏合而得到的不可定向曲面。这种表示形式由两部分构成，其中一部分是围绕着一个 “8” 字形曲线的管子，另一部分是该曲线的一部分旋转形成的曲面。在三维空间中存在一条自相交的曲线，不过其交点有着不同的第四坐标，所以该曲面实际上是嵌入在四维空间中且不存在自相交情况的。[13]
环面变形
以轮胎为例，首先，剪断一截轮胎，做成一个曲形圆筒（图3左图），使圆筒变成一面宽一面细（图3右图），然后将细的一端插入圆筒侧面的孔中（图4左图），但不和管壁相交，再从宽的那端深处伸出，使边缘处自然衔接（图4右图），这样就能得出克莱因瓶了。[14][15]
莫比乌斯环粘合
准备两个对称的莫比乌斯环，将这个环的边缘用胶带粘在一起，这样，弯折处就变成克莱因瓶的“入口”了。[14]
不可定向
在数学领域中,克莱因瓶是一种无定向性的曲面。[11]所谓可定向的曲面是指不能通过沿曲面滑动把左手变成右手或把顺时针变为逆时针的曲面。例如，球面(或平面)是可定向的，环面和双环面也是如此。一个能够做到上述改变的曲面，比方说克莱因瓶或莫比乌斯带，被称为是不可定向的。[16]
无边界性
克莱因瓶是一种自我封闭，而没有明显边界的曲面。[17][4]一个球有两个面——外面和内面，如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一个洞，就无法爬到内表面上去。轮胎面也是一样，有内外表面之分。但是克莱因瓶却不同，一只爬在“瓶外”的蚂蚁，可以通过瓶颈而爬到''瓶内”去。克莱因瓶并无内外之分。[7]
单侧曲面
克莱因瓶还有一个重要特征，即它是“单侧曲面”，克菜因瓶不存在内外表面之分。蚂蚁可以轻易从瓶壁的一侧出发，沿着表面爬到出发点的背面。[18]
高维性
克莱因瓶不能用R3的子流形来实现。[8]它是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面。[7]仔细观察克莱因瓶（图5），那就是克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的。换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置，其实这正是在三维空间实现克莱因瓶的困难之处。[5]事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。[7]
如果说莫比乌斯环体现的是从二维向三维的跨越，那么克莱因瓶体现的就是从三维向四维的跨越。[2]
莫比乌斯带
将一根平面的四边形纸条扭转一周，将纸条两头粘贴起来，这样做成的无法区分内侧和外侧的曲面便是莫比乌斯带。莫比乌斯带的特点是，无论从纸带的任何一点出发，沿着纸带的中心转一圈，会来到出发点的反面位置，而转两圈则会回到初始位置。[19]
同胚
如果存在一个1—1到上的映射，使得和都是连续的，则两个拓扑空间和称为是（拓扑）同胚的。[20]
同胚是拓扑学中最重要的概念之一。拓扑空间之间的同胚关系实质上是等价关系。拓扑空间按同胚关系分类，而属于同一类等价类的拓扑空间可看作是相同的。[20]
应用
克莱因瓶在数学、物理学和哲学等领域都有重要的应用。例如，在拓扑学中，克莱因瓶作为一种不可定向的曲面，为研究曲面的性质提供了重要的工具。此外，克莱因瓶的概念也启发了人们对空间维度的思考，为我们理解更高维度的空间结构提供了启示。[3]由罗博·麦克布莱德设计的克莱因瓶度假屋则将拓扑学的结构模型成功地运用到了建筑中，使建筑如同折纸一般有规律的折叠弯曲，形成高低转折的曲面。其几何形体的内外面相互连贯而成一体，产生复杂的拓扑几何形——克莱因瓶的旋转外观，造成了极具数学概念的视觉效果。[9]
提出者
参考资料 21
- 克莱因瓶/Klein?Bottle — 厦门大学图书馆
- 什么是克莱因瓶？为什么将地球上的水倒进去也装不满? — 腾讯网
- 【数·科普】克莱因瓶 — 微信公众平台
- 参考 4
- 参考 5
- 只有一个面的玻璃瓶，是怎么吹制出来的？ — 今日头条
- 参考 7
- 参考 8
- 参考 9
- 菲立克斯·克莱因与克莱因瓶 — 中国科普博览
- 参考 11
- 数学之美(十二)——克莱因瓶的奥秘 — 吉林财经大学应用数学学院
- The Klein Bottle in Four-Space — math.brown.edu
- 参考 14
- Imaging maths - Inside the Klein bottle — plus.maths.org
- 参考 16
- 参考 17
- 参考 18
- 参考 19
- 参考 20
- 参考 21
注释
- 同胚，又称为拓扑同胚，严格的数学定义在相关概念章节介绍。拓扑空间之间的同胚关系实质上是等价关系。拓扑空间按同胚关系分类，而属于同一类等价类的拓扑空间可看作是相同的。