二次域

二次域，在代数数论中是指有理数域Q的次数为二的数域扩展，可以唯一地表示为Q(√d)，其中d是无平方数因子的有理整数。若d>0，则称为实二次域；若d<0，则称为虚二次域或复二次域。虚实之分在于Q(√d)是否为全实域。二次域的研究对于代数数论具有基础性的重要性，尽管已有许多成果，但仍有一些未解的猜想，如类数问题。

假定适合一个有理整系数的既约二次方程。则就称为一个二次域。实际上，全体二次域即，其中 D 过 所有不等于 1 且无平方因子的有理整数。

当 时，称为实二次域 (real quadratic field) 。

当时， 称为虚二次域 (imaginary quaadratic field) 。

当时，命 及 。

当 时，命 及。则为 的判别式，而1、为 的一组整 基。1、亦为的一组整基。

1801年，C.F.高斯发表了他在20岁时所写的数论著作《算术研究》，展现了他的一个杰出的思想，即把有理数域和有理整数环上的许多初等数论问题，放到更大的域和环──二次域和它的(代数)整数环上来研究。他在这些方面的工作，是研究二次域的开端，也是代数数论的一个源头。

二次域有许多研究课题，其中最著名的是高斯关于类数问题的两个猜想:①只有有限多个类数为1的虚二次域;②存在着无限多个类数为1的实二次域。关于第一个猜想,1934年，H.海布雷恩证明了当时,。1935年C.L.西格尔进一步证明了。A.贝克于1966年和H.M.斯塔尔克于1967年各自独立地证明了类数为1的虚二次域只有9个：。