乘法

乘法（multiplication），是一种数学术语。^[1]它是指一个数或量，增加了多少倍。^[2]其中，相同的加数叫做被乘数，加数的个数叫做乘数，乘的结果叫做积。被乘数和乘数又称积的因数。中国古代把被乘数称“实数”，把乘数称“法数”。^[3]乘法公式中，“×”就是乘号。两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。^[2]乘法的定律有交换律、结合律和分配律。^[3]从哲学角度解析，乘法是加法的量变导致的质变结果。^[4]

任何乘法运算理论体系都基于“小九九”运算口诀。“九九乘法口诀”是中国人在春秋战国时期发明的，距今有近2300年的历史。628年，印度数学家、天文学家婆罗摩笈多发明了乘法竖式运算方法理论体系，为后人乘法运算做出了巨大贡献，他的竖式乘法运算体系至今仍得到应用。1150年，印度数学家婆什迦罗的《丽罗娃提》一书中发明了格子乘法运算理论，12世纪以后广泛流传于阿拉伯地区，后来通过阿拉伯人传入欧洲，并很快在欧洲流行。这种方法后来传入中国，中国明朝数学家程大位在《算法统宗》一书中把它称为“铺地锦”。^[5]

乘法是算术中最简单的运算之一，是指一个数或量，增加了多少倍。^[2]

乘法来自于整数的乘法运算。^[2]任何乘法运算理论体系都基于“小九九”运算口诀。“九九乘法口诀”是中国人在春秋战国时期发明的。628年，印度数学家、天文学家婆罗摩笈多发明了乘法竖式运算方法理论体系，为后人乘法运算做出了巨大贡献，他的竖式乘法运算体系至今仍得到应用。1150年，印度数学家婆什迦罗的《丽罗娃提》一书中发明了格子乘法运算理论，12世纪以后广泛流传于阿拉伯地区，后来通过阿拉伯人传入欧洲，并很快在欧洲流行。这种方法后来传入中国，中国明朝数学家程大位在《算法统宗》一书中把它称为“铺地锦”。^[5]

乘法口诀是中国古代筹算中进行乘法、除法、开方等运算的基本计算规则。古时的乘法口诀，是自上而下，从“九九八十一”开始，至“一一如一”止，与现在使用的顺序相反，因此古人用乘法口诀开始的两个字“九九”作为此口诀的名称，又称九九表、九九歌、九因歌、九九乘法表。^[6]

中国使用“九九口诀”的时间较早。在《荀子》《管子》《淮南子》《战国策》等书中就能找到“三九二十七”“六八四十八”“四八三十二”“六六三十六”等句子。由此可见，早在“春秋”“战国”的时候，《九九乘法歌诀》就已经开始流行了。西方文明古国希腊和巴比伦，也发明了乘法表，不过比起九九表复杂些。巴比伦发明的希腊乘法表有一千七百多项，而且不够完全。由于在13世纪之前他们计算乘法、除法十分辛苦，所以能够除一个大数的人，会被人们视为数学专家。^[6]

13世纪之初，东方的计算方法通过阿拉伯人传入欧洲，欧洲人发现了它的方便之处，所以学习这个新方法。这是当时大学的教材。^[6]

相同的加数叫做被乘数，加数的个数叫做乘数，乘的结果叫做积。被乘数和乘数又称积的因数。中国古代把被乘数称“实数”，把乘数称“法数”。^[3]乘法公式中，“×”就是乘号，乘号前面和后面的数叫做因数，“=”是等于号，等于号后面的数叫做积。10（因数）×（乘号）200（因数）=（等于号）2000（积）。乘法在读的时候只说“乘”不说“乘以”。^[2]

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。^[2]

整数的乘法运算满足：交换律，结合律，分配律，消去律。随着数学的发展，运算的对象从整数发展为更一般群。群中的乘法运算不再要求满足交换律。最有名的非交换例子，就是哈密尔顿发现的四元数群。但是结合律仍然满足。^[2]

在中国古代的时候利用算筹来进行乘法计算。算筹乘法分为三层：上位是被乘数，中位是积，下位是乘数。先由乘数的最大一位去乘被乘数，乘完后去掉这位的算筹，再用第二位数去乘，两次之积对应位上的数相加，直到乘完为止。计算的层次其实就是把多位数变为用单位数去乘多位数，乘一位加一位，基本原理与现在通用的笔算乘法是完全一样的，只是使用乘数的次序与现在的作法却是相反的。^[2]

古埃及人知道如何进行较大数字之间的乘法运算。他们使用了一种被称为“逐次翻倍”的方法。书吏会在石板的第一列依次写出2的幂（1，2，4，8，16，…）。在第二列，则逐次将另一个乘数翻倍。21×16*是这样计算的：书吏会从第一列中挑出一些数，这些数的总和正好是21，然后再将这些数后面对应的第二列中的数加在一起，得到最终的结果。16+64+256的总和是336，这就是最终答案。^[7]

六十进制的使用为古巴比伦数学的乘法运算发展带来了很大的障碍，因为如果要背乘法口诀表的话，至少也得背一千多项。所以古巴比伦人利用表格代替乘法口诀表。这些计算有关的表格可能用于学习时的背诵，也可能用于实际的换算或计算，是古巴比伦人计算的重要辅助工具。^[8]

60的2分之一等于30；其3分之一等于20；其4分之一等于15；其5分之一等于12；其6分之一等于10；其7又1/2分之一等于8；其8分之一等于7又30；其10减1分之一等于6又40；其12分之一等于5……由于古巴比伦采用六十进制，这样的一个列表相当于倒数表。实际应用这些表格进行计算时是带计量单位的，这些六十进制数字本身没有绝对位值，也就是说乘积等于60的任何幂次的两个数就互为倒数。如第一行“60的2分之一等于30”，则2与30互为倒数，因2×30=60。古巴比伦的倒数表里所有的数都是精确的小数，在六十进制中都是有限小数。需要计算乘法时，古巴比伦人就去查询表格从而得到结果，通过大量背诵和记录来避免乘法计算是古巴比伦的方法。^[8]

到中世纪的时候，印度流行几种实用而且有趣的乘法。十字相乘法是其中一种，印度人称之为闪电似的乘法。1494年，意大利数学家巴切利介绍了八种乘法。第一种乘法与现在通用的笔算乘法完全一致，而第六种就是方格乘法。此方法大约在15世纪的时候传入到中国，因为其图形有如织锦，所以就称它为铺地锦。^[2]

乘法还有巧算，比如：12×15=12×10+5×10+2×5。^[2]

九九表一般只用一到九这九个数字，包含乘法的可交换性，因此只需要八九七十二，不需要“九八七十二”。《九九乘法表》从春秋战国时期就用在筹算中运算，到明代则改良并用在算盘上。九九表也是小学算术的基本功。^[6]

在各种文明的算术发展过程中，乘法运算的产生是很重要的一步。一个文明可以比较顺利地发展出计数方法和加减法运算，但要想创造一套简单可行的乘法运算方法却不那么容易。我们目前使用的乘法竖式计算看似简便，实际上这需要我们事先掌握九九乘法口诀表；考虑到这一点，这种竖式计算并不是完美的。其实，在数学的发展过程中，不同的文明创造出了不同的乘法运算方法，其中有的运算法甚至可以完全抛弃乘法表。^[9]

古埃及数学使用了完全不同的乘法运算法。他们的乘法运算不需要借助任何辅助用表。因此，你需要做的仅仅是不断将1和乘数进行翻倍。古埃及人计算46乘8的方法见下图。^[9]

上面的演算中，左列是1不断翻倍的结果，右边是8不断翻倍的结果。选出左列的2、4、8、32，它们的和正好就是被乘数46；那么把右列对应的数加起来就是乘法运算的最终结果。至于如何选出2、4、8、32这四个数，一个简单的方法就是，不断选出左列里小于被乘数的数中最大的一个，然后用当前被乘数减去它。比如，32是最大的数，用46-32后剩14；8是小于14的最大数，14-8后剩6；然后最大的小于6的数是4，6减去4后剩2，这样下来2+4+8+32正好就是被乘数46了。^[9]

按照这样的方法，即使你还不知道如何计算两位数乘两位数，也可以算出它们的结果。以38×17为例：^[9]

同样地，我们只需要选取左边的2、4、32三个数字，它们的和就是38，我们把这三个数字对应的右列数字加起来，就得到了结果646。你可以拿计算器验证一下，这个结果是完全正确的。^[9]

据说俄国农村曾产生过这样一种乘法算术法：将被乘数逐次减半（结果向下取整），同时乘数依次加倍，那么找出所有左边的数是奇数的行，其右列的数的和就是答案。例如，下面的例子中，23、11、5和1都是奇数，于是右边对应的14、28、56和224的和就是乘法运算的结果。这个做法与古埃及的算术法完全一样，但看起来似乎更神奇一些。^[9]

比如说4乘5，也就是4增加了5倍率，也可以说成5个4连加。^[2]它是指求几个相同的数连加的简便算法，用连加的次数来乘被加数，是除法的逆运算（如6连加5次，就用5来乘6）。^[3]从哲学角度解析，乘法是加法的量变导致的质变结果。^[4]

乘法原理：如果因变量（f）与自变量（x1，x2，x3，⋯,xn​）之间存在直接正比关系并且每个自变量存在质的不同，缺少任何一个自变量均导致因变量（f）失去其意义。加法原理：加法原理：如果因变量（f）与自变量（z1，z2，z3，⋯,zn​）之间存在直接正比关系并且每个自变量存在相同的质，缺少任何一个自变量均不能导致因变量（f）失去其意义。以上所说的质是按照自变量的作用来划分的。此原理是逻辑乘法和逻辑加法的定量表述。^[10]

如果在群上再装备另一种乘法，那么就发展成为“环”，两种乘法中的一种可以视为传统意义上的加法，所以要求要满足分配律和交换律；可是另外一种“乘法”却不要求交换律。在环里面，我们不再要求消去律成立。如果这个环有消去律的话，就称其为整环。但是对于环来说，不一定有“除法”的概念。如果环有除法的话，就叫做“域”。域是最接近我们平时所说的有理数集合的东西。可是它包含了更多的信息。^[2]

开始时乘法中的这些代数对象的乘法都满足结合律。可事实上，数学发展到后来，产生了一些不满足于结合律的乘法。最经典的就是所谓的李（Lie）括号。^[2]