除环

除环（division ring），亦称体（sfield）或斜域（skew field），接近于域的一类条件很强的环。设是一个有单位元的环。若中至少含有一个非零元，且每个非零元都是可逆元，则称为除环。^[2]

环论起源于19世纪关于实数域和超复数系的研究，以及德国数学家、理论家戴德金（Dedekind,J.W.R.）、英国数学家哈密顿（Hamilton,W.R.）等学者对超复数系的建立和研究。19世纪中后期，德国数学家费罗贝尼乌斯（Frobenius）提出了费罗贝尼乌斯定理，对实数上的有限维除代数进行分类。不久后，数学家摩尔（E. H. Moore）完成了对有限域的分类。大约1905年，数学家韦德伯恩（J. H. M. Wedderburn）提出Wedderburn定理，即所有有限除环都是可交换的。^[4]20世纪20-30年代，德国数学家诺特（Noether,E.）建立了环的理想理论。到了20世纪50年代中期，数学家阿密苏（Amitsur,S.A.）和库洛什（Kurosh,A.）创立了根的一般理论，使环论逐渐趋于完善。^[3]

除环中具有一些性质，如，一个除环没有零因子等。^[5]与除环相关的定理包括著名的嘉当-布饶尔-华罗庚定理（Cartan-Brauer- Huatheorem）等。^[6]与除环相关的概念有域、整环以及理想子环等。^[7][8][9]克利福德（Cliford）代数，一种交换环上的有限维结合代数，可以看作是复数域和Hamilton四元数除环的推广。^[10][11]除此之外，除环上的矩阵分解是数学应用中矩阵论和除环理论中的一个很重要的内容。^[1]

环论的起源可以追溯到19世纪关于实数域的扩张与分类，以及德国数学家、理论家戴德金（Dedekind,J.W.R.）、英国数学家哈密顿（Hamilton,W.R.）等学者对超复数系的建立和研究。^[3]19世纪中后期，德国数学家费罗贝尼乌斯（Frobenius）提出了费罗贝尼乌斯定理，对实数上的有限维除代数进行分类。不久后，数学家摩尔（E. H. Moore）完成了对有限域的分类。大约1905年，数学家韦德伯恩（J. H. M. Wedderburn）提出Wedderburn定理，即所有有限除环都是可交换的。^[4]20世纪20-30年代，德国数学家诺特 （Noether,E.）建立了环的理想理论。^[3]到了20世纪50年代中期，数学家阿密苏（Amitsur,S.A.）和库洛什（Kurosh,A.）创立了根的一般理论，使环论逐渐趋于完善。^[3]

在非空集合中定义加法“”和乘法“”运算，使得中任意元，，适合条件：

对加法为交换群，称为的加法群，记为；对乘法适合结合律，即是半群，称为的乘法半群；乘法对加法的左、右分配律成立，即

（左分配律），

（右分配律）；

则称为结合环，简称环（通常写为），是环论研究的主要对象。^[12]

除环（division ring），是接近于域的一类条件很强的环。设是一个有单位元的环，若中至少含有一个非零元，且每个非零元都是可逆元，则称为除环。交换的除环称为域，非交换的除环有时亦称为斜域或体。除环是由加群与乘群凑合而成的。^[2][13][14]

零因子（zero divisor），亦称零除元，环的一种特殊的非零元。环中一个元，若有使得或，称是环的零因子。在非交换环中有左、右零因子之分，如上时，称左零因子；时，称右零因子。若环有零因子，则消去律不成立。与零因子意义完全相反的元，即不是零因子的非零元，称为正则元。^[15]

环的单位元（identity element or unit element of ring），乘法半群的左（右）单位元，称为环的左（右）单位元。乘法半群的单位元称为环的单位元。^[16]

环的单位群（unit group of a ring），环中可逆元构成的群。环有单位元，是中非零元，若存在中元有（或），则称是的一个右逆元（或左逆元）。若，则称为的逆元，记为。环中有逆元的元，称为可逆元，也称为环的单位。环中一切单位的集合，对的乘法构成一个群，称为的单位群，常用表示。^[17]若中至少含有一个非零元，且每个非零元都是可逆元，则称为除环。^[2]

一个除环没有零因子，因为：。^[5]一个除环的不等于零的元对于乘法来讲作成一个群。因为：由于对于乘法来说是闭的；由于环的定义，乘法适合结合律；有单位元，就是的单位元；由于除环的定义，的每一个元有一个逆元，叫做除环的乘群，这样，一个除环是由两个群，加群与乘群，凑合而成的；分配律好象是一座桥，使得这两个群中间发生一种联系。^[5]一个除环里，方程和各有一个唯一解和。^[18]

嘉当-布饶尔-华罗庚定理（Cartan-Brauer- Huatheorem），是关于除环的一个著名定理。该定理断言：除环在它的所有内自同构下不变的子除环仅有本身和的中心。嘉当（Cartan,H.）于1947年用伽罗瓦群证明有限情况；布饶尔（Brauer,R. (D. )）于1949年证明此定理；同年，华罗庚独立地给出了另一证明。当的特征时，这一定理对求导也成立。^[6]

任何有限域都是交换的。^[19]假定是环，是它的根基。如果是可离代数，可以把写成两个子代数的和，但这和只能是向量空间的直和，不是环的直和。假定是可换体的有穷维代数，是它的根基，是可离代数，那末有子代数存在使得，并且看成向量空间时是与的直和，即。^[20]

费罗贝尼乌斯定理，是上仅有的有限维可除的结合代数，其作为上的线性空间，维数分别为1，2，4。

进一步，又有：推广的费罗贝尼乌斯定理，是实数域上仅有的有限维可除交错（非结合）代数，其维数分别为1，2，4，8。这里，非结合交错代数的意义是指在整体上不满足通常的结合律，但在局部上可能是满足通常的结合律的。例如，八元数代数是非结合的，但是它的子代数系中乘法都是适合结合律的。费罗贝尼乌斯定理及推广的费罗贝尼乌斯定理表明，在放弃了乘法交换律和结合律之后，实数域上的（有限维）代数仍然是有限的。在同构意义之下，它们只能是实数域，复数域，四元数系和八元数系。也就是说，从考虑实数域上的代数的角度，“数系”扩充到八元数，又是一个结束。^[21]

没有零因子的非零环称为整区（integral domain）。环是整区当且仅当且消去律成立。交换整区称为整环，它是交换代数研究的重要对象。^[7]

域（field），代数学的基本概念之一，即具有两个运算的代数系。设是至少含两个元的集合，在中定义了两个二元运算：一个称加法，使成为加群，它的单位元称为的零元；一个称乘法，使的非零元构成一个交换群，加法与乘法满足分配律，此时称为域。例如，全体有理数、全体实数和全体复数在通常的加法与乘法下都构成域，分别称为有理数域、实数域和复数域。域是许多数学分支研究的基础，尤其对代数、代数数论、代数几何等更为重要。^[8]一个交换除环就是一个域。^[22]

环的一个非空子集，叫做一个理想子环，简称理想。一个环至少有两个理想：只包含零元的集合，这个理想叫做的零想；自己，这个理想叫做的单位理想。一个除环只有两个理想，就是零理想和单位理想。^[9]

英国的几何代数学家克利福德（Willian Kingdon Cliford）建立了克利福德（Cliford）代数，他提出了一种新的乘法运算符号，即几何积，几何积将Hamilton的四元数和Grassmann的扩张代数（外代数）结合，能够进行高维的几何计算和分析。克利福德代数将矢量、四元数^[注1]、张量等都统一到同一个代数框架内，不仅保留矩阵代数、向量代数和四元数代数的优点，是一个结合的非交换代数，而且还更具有概括性。Clifford代数对于几何体几何关系和几何变換huàn具有不依赖于坐标的、通用和易于计算的符号表示。这是一种交换环上的有限维结合代数，可以看作是复数域和Hamilton四元数除环的推广。^[10][11][24]

除环上的矩阵分解是矩阵论和除环理论中的一个很重要的内容，很多研究者对除环上的矩阵理论做出了突出的贡献。教授王卿文和荷兰代尔夫特理工大学教授vanderWoude等研究了除环上具有相同行数的3个矩阵的等价标准型定理。更进一步的，王卿文和vanderWoude研究了除环上4个矩阵的等价标准型。^[1]

其中矩阵，，，为除环上给定的矩阵，且维数分别为，，，。^[1]